Changements de repères


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Dans la partie précédente, nous avons introduit le concept de repères. Jusqu’ici, ces derniers permettent de définir la position d’un point dans le plan ou l’espace.

Dans cette partie, nous allons discuter de comment changer un point de repère.

Changement de base

Supposons tout d’abord que seule la base de deux repères est différente, mais que l’origine est la même. On peut par exemple prendre \(\{r_1\} = (O, \vec{i}, \vec{j})\) et \(\{r_2\} = (O, \vec{i'}, \vec{j'})\):

On notera:

  • \(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\) les coordonnées de \(P_{r_1}\), le point \(P\) dans le repère \(\{ r_1 \}\)
  • \(\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}\) les coordonnées de \(P_{r_2}\), le point \(P\) dans le repère \(\{ r_2 \}\)

Ce qui équivaut à dire:

\[\vec {OP} = x \vec {i} + y \vec{j} = x' \vec{i'} + y' \vec{j'} \space \space \space \space (1)\]
Question: si on connaît les coordonnées `(x', y')` de `P` dans `\{ r_2 \}`, comment trouver les coordonnées `(x, y)` de `P` dans `\{ r_1 \}` ?

Comme \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) est une base, il existe \((\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4)\) tels que:

\[\vec{i'} = \lambda_1 \vec{i} + \lambda_2 \vec{j} \\ \vec{j'} = \lambda_3 \vec{i} + \lambda_4 \vec{j}\]

On suppose qu’ils sont connus. Dans ce cas, on peut donc substituer \(\vec{i'}\) et \(\vec{j'}\) dans \((1)\):

\[x' \vec{i'} + y' \vec{j'} \\ = x' (\lambda_1 \vec{i} + \lambda_2 \vec{j}) + y' (\lambda_3 \vec{i} + \lambda_4 \vec{j}) \\ = \underbrace{(\lambda_1 x' + \lambda_3 y')}_{x} \vec{i} + \underbrace{(\lambda_2 x' + \lambda_4 y')}_{y} \vec{j}\]

Ce qui nous permet d’identifier \(x\) et \(y\):

\[x = \lambda_1 x' + \lambda_3 y' \\ y = \lambda_2 x' + \lambda_4 y'\]

Nous noterons cette opération: \(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = R_{r_1 r_2} (\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix})\)

De manière générale, pour se rappeller du “sens” de l’opération, on appliquera la règle d’annulation de l’indice:

\[P_{r_1} = R_{r_1 \color{red}{r_2}} (P_{\color{red}{r_2}})\]

Ici, \(\{ \color{red}{r_2} \}\) disparaît après l’opération.

Nous utilisons la lettre \(R\) ici car cette transformation dans des bases orthonormées est en fait une rotation (nous y reviendront dans la prochaine partie).

Changement de repère

Prenons maintenant deux repères, \(\{ r_1 \} = (O, \vec{i}, \vec{j})\) et \(\{ r_2 \} = (A, \vec{i'}, \vec{j'})\):

On appellera \(\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}\) les coordonnées de \(P\) dans \(\{ r_2 \}\), et on souhaite trouver \(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\), les coordonnées de \(P\) dans \(\{ r_1 \}\).

On introduit un repère intermédiaire \(\{r_3\} = (A, \vec{i}, \vec{j})\). Sur la figure ci-dessus, on peut le voir en opacité réduite: on a “reporté” les vecteurs \(\vec{i}\) et \(\vec{i'}\) de \(\{ r_1 \}\) autour de l’origine \(A\).

Grâce à la partie précédente, on peut exprimer la position du point \(P\) dans \(\{ r_3 \}\):

\[P_{r_3} = R_{r_3 r_2}(P_{r_2})\]

(Notez que l’opération \(R_{r_3 r_2}\) est la même que \(R_{r_1 r_2}\), car seule la base est utilisée dans ce changement)

Une fois cela fait, on peut facilement retrouver \(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\) par translation. En effet, on observe par relation de Chasles que: \(\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP}\). Les vecteurs étant dans la même base, dans le monde des coordonnées, on a le système:

\[P_{r_1} = R_{r_1 r_2} (P_{r_2}) + A_{r_1}\]
Changement de repère
Soit un repère `\{ r_1 \} = (O, \vec{i}, \vec{j})`, un repère `\{ r_2 \} = (A, \vec{i'}, \vec{j'})` et un point `P`, on a: $$P_{r_1} = R_{r_1 r_2} (P_{r_2}) + A_{r_1}$$
Avec:
  • `P_{r_1}` sont les coordonnées de `P` dans `\{ r_1 \}`
  • `R_{r_1 r_2}` est l'opération du changement de base des vecteurs de la base de `\{ r_2 \}` vers les vecteurs de la base de `\{ r_1 \}`
  • `P_{r_2}` sont les coordonnées de `P` dans `\{ r_2 \}`
  • `A_{r_1}` sont les coordonnées de `A` dans `\{ r_1 \}`

Par la suite, nous verrons comment nous pouvons exprimer les vecteurs d’une base en fonction d’une autre base à l’aide de rotations.