Lorsqu’un robot évolue, nous avons envie de pouvoir parler de la position et de l’orientation des éléments qui le composent ou de son environnement. Un robot étant mobile et/ou articulé, ses degrés de liberté font que certaines de ces positions et orientations évoluent au cours du temps. Aussi, les mesures capturées par les capteurs (Par exemple, les pixels sur l’image d’une caméra ou la position des obstacles vues par un LiDAR) sont obtenues d’un point de vue intrinsèque à un des composants, il est donc nécessaire de pouvoir les transposer d’un autre “point de vue”, c’est ce que nous allons formaliser ici.
En guise d’illustration, considérons la situation suivante:
On peut imaginer les questions:
- Si on connaît la position/orientation du robot par rapport au sol, et du sol par rapport au satellite, où se trouve le robot par rapport au satellite ?
- Supposons que le robot perçoive un obstacle de son propre point de vue, et que l’on connaisse la position/orientation du robot par rapport au sol, où est cet obstacle par rapport au sol ?
- Sachant la position d’une caméra fixée sur un robot à un endroit connu, et un objet détecté sur l’image, où est cet objet sur le sol ?
- Si un robot perçoit un objet d’intérêt et qu’il se déplace, où est l’objet après le déplacement ?
Pour répondre à ces questions, nous introduisons la notion de repères (les éléments notés entre accolades sur la figure ci-dessus).
Définitions
Repères
Un repère est défini par:
- Un point d’origine,
- Un ensemble de vecteurs qu’on appelle la base.
Par exemple, \((O, \vec{i}, \vec{j})\) forme un repère d’origine \(O\) et de base \(\vec{i}, \vec{j}\):
Ici, nous nous intéresserons uniquement aux repères orthonormés, c’est à dire dont les vecteurs de la base sont unitaires (de longueur \(1\)) et orthogonaux deux à deux.
Coordonnées
On appelle coordonnées d’un point \(P\) dans le repère \((O, \vec i, \vec j)\) les valeurs de \(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\) (respectivement \(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\) en 3D) tel que:
\[\vec{OP} = x \vec{i} + y \vec{j}\]
Pour l’instant, vous pouvez considérer \(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\) comme une notation, mais nous verrons plus tard qu’il s’agit d’un vecteur colonne.
Coordonnées polaires
Dans un repère orthonormé, une autre représentation des coordonnées est la représentation polaire. Ces dernières, notées \(\begin{bmatrix} \rho \\ \theta \end{bmatrix}\), sont respectivement:
- \(\rho\): la longueur \(\| \vec{OP} \|\)
- \(\theta\): l’angle entre \(\vec{i}\) et \(\vec{OP}\)
Conversions
Polaire vers cartésien
Par définition des fonctions \(cos\) et \(sin\), on a:
\[\begin{cases} x = \rho cos(\theta) \\ y = \rho sin(\theta) \end{cases}\]Cartésien vers polaire
Dans la figure suivante:
On peut utiliser Pythagore dans le triangle rectangle pour trouver \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Il est également possible de trouver \(\theta = atan(\frac{y}{x})\). Mais cette formule souffre de deux problèmes:
- Si \(x = 0\), nous aurons une division par zéro,
- Elle ne gère pas tous les quadrants du plan. En effet, sur la figure ci-dessus, on induit que \(P\) est dans le premier quadrant, mais ça n’est pas forcément le cas.
Un bon exemple pour comprendre ce second problème est de considérer les deux points \(P = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}\) et \(P' = \begin{bmatrix}-1 \\ -1\end{bmatrix}\):
Comme on peut le constater, \(atan(\frac{-1}{-1})\) = \(atan(\frac{1}{1})\) = \(45 deg\), or, on voudrait \(\theta_1 = 45 deg\) et \(\theta_2 = 135 deg\). Comme \(P'\) est dans un autre quadrant que \(P\), la formule ne fonctionne pas.
Pour résoudre ces problèmes, on peut utiliser la fonction \(atan2\), qui prend deux arguments, \(y\) et \(x\) (dans cet ordre, en référence à \(\frac{y}{x}\) passés à \(atan\)), la conversion peut donc se faire avec:
\[\begin{cases} \rho = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \theta = atan2(y, x) \end{cases}\]Notations et convention
Repères
Pour parler d’un repère, on pourra nommer son origine ainsi que les vecteurs de sa base \((O, \vec{i}, \vec{j})\). Cependant, si nous n’en avons pas besoin, on pourra le représenter par un nom noté entre accolades (par exemple \(\{r\}\)):
Coordonnées d’un point dans un repère
Les coordonnées d’un point \(P\) dans un repère \(\{ r \}\) seront notées \(P_r\). Ces coordonnées sont donc un vecteur de dimension 2 ou 3 (selon si on travaille en 2D ou en 3D).
Couleurs d’axe
Dans les illustrations et les logiciels, la convention de couleur est la suivante:
- Rouge pour l’axe \(\vec{x}\)
- Green pour l’axe \(\vec{y}\)
- Bleu pour l’axe \(\vec{z}\)
Pour s’en souvenir, pensez au moyen mémo-technique: XYZ = RGB
Un “couteau-suisse” important: le produit scalaire
Définition
Le produit scalaire (en anglais dot product, car il est noté par un point) est une valeur scalaire obtenue à l’aide de deux vecteurs selon la définition suivante:
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert \vec{u} \rVert \lVert \vec{v} \rVert cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})\]Où \(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}\) est l’angle entre les deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
Propriétés
Le produit scalaire d’un vecteur avec lui même
Le produit scalaire de \(\vec{u}\) avec lui-même est égal à sa norme au carré (le cosinus de \(0\) étant égal à \(1\)):
\[\vec{u} \cdot \vec{u} = \lVert \vec{u} \rVert ^2\]Le produit scalaire est symétrique
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\]Ce qui découle de la commutativité des termes de la définition donnée précédemment, et du fait que la fonction cosinus est paire.
Le produit scalaire est compatible avec l’addition
\[\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\]Pour plus d’informations: bilinéarité du produit scalaire.
Dans une base orthonormée
Si on considère deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) dont les coordonnées respectives dans une base orthonormée sont \(\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1\end{bmatrix}\) et \(\begin{bmatrix} x_2 \\ y_2\end{bmatrix}\):
Alors:
\[\begin{array}{ll} \vec{u} \cdot \vec{v} & = (x_1 \vec{i} + y_1 \vec{j}) \cdot (x_2 \vec{i} + y_2 \vec{j}) \\ & = x_1 x_2 \cancelto{1}{(\vec{i} \cdot \vec{i})} + x_1 y_2 \cancelto{0}{(\vec{i} \cdot \vec{j})} + y_1 x_2 \cancelto{0}{(\vec{j} \cdot \vec{i})} + y_1 y_2 \cancelto{1}{(\vec{j} \cdot \vec{j})} \\ & = x_1 x_2 + y_1 y_2 \end{array}\](En 3D, on peut faire exactement le même raisonnement, le produit scalaire devient alors \(x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\)).
Utilisation
Trouver l’angle entre deux vecteurs
On peut utiliser le produit scalaire pour trouver l’angle formé par deux vecteurs:
\[\theta = cos^{-1} (\frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\lVert \vec{u} \rVert \lVert \vec{v} \rVert})\](Ne pas oublier que \(cos^{-1}\) retourne une valeur entre \(0\) et \(\pi\)).
Vérifier de quel côté d’un demi-plan/demi-espace/segment/droite on se trouve
Supposons que l’on ait un demi-plan (ou en 3D un demi-espace), défini par un point \(A\) qui soit sur sa bordure, et un vecteur \(\vec{u}\) normal à sa séparation:
Pour tester si un point \(P\) appartient au demi-plan (partie verte ci-dessus), on peut utiliser le signe du produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{AP}\). Si ce dernier est positif, on sera dans le demi-plan (dans la partie “verte”), si il est négatif, on sera à l’extérieur du demi-plan (dans la partie “rouge”), et si il est nul, on sera sur la bordure.
Projeter un point sur une droite
Si on reprend l’exemple précédent, mais avec \(\vec{u}\) unitaire, on a donc:
\[\vec{u} \cdot \vec{AP} = cos(\theta) \lVert \vec{AP} \rVert\]Sur la figure suivante, on constate dans le triangle \(A\), \(P\), \(P'\), que cette valeur est la distance de \(P\) à la bordure du demi-plan:
On peut donc trouver \(AP' = \vec{u} (\vec{u} \cdot \vec{AP})\)
Tester si deux vecteurs sont orthogonaux
On peut tester si deux vecteurs sont orthogonaux, en vérifiant que:
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\]Tester si trois points sont alignés
On peut tester si trois points \(A, B\) et \(C\) sont alignés en vérifiant que:
\[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \lVert \vec{AB} \rVert \lVert \vec{AC} \rVert\]Trouver la norme d’un vecteur
En utilisant le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même, on a:
\[\vec{u} \cdot \vec{u} = \lVert \vec{u} \rVert^2\]En 3D, on a donc par exemple:
\[\vec{u} \cdot \vec{u} = x^2 + y^2 + z^2\] \[\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]Dans la partie suivante, nous parlerons des changements de repères
Rhoban
@RhobanRobots