Rotations

Des changements de base aux rotations

Dans la partie précédente, nous avons dit que si on pouvait exprimer les vecteurs d’une base \((\vec{i'}, \vec{j'})\) en fonction des vecteurs d’une autre base \((\vec{i}, \vec{j})\) sous la forme:

\[\vec{i'} = \lambda_1 \vec{i} + \lambda_2 \vec{j} \\ \vec{j'} = \lambda_3 \vec{i} + \lambda_4 \vec{j}\]

On pouvait alors effectuer un changement de base:

\[\begin{cases} x = \lambda_1 x' + \lambda_3 y' \\ y = \lambda_2 x' + \lambda_4 y' \end{cases} \space \space \space \space (1)\]

Ces quatres nombres \((\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4)\) sont en fait soumis à trois contraintes, car les repères sont orthonormés:

Le vecteur \(\vec{i'}\) est unitaire: \(\|\vec{i'}\| = 1\)
Le vecteur \(\vec{j'}\) est unitaire: \(\|\vec{j'}\| = 1\)
Les vecteurs \(\vec{i'}\) et \(\vec{j'}\) sont orthogonaux.

Ils peuvent donc êtes entièrement définis par un seul nombre, comme par exemple l’angle \(\alpha\) entre \(\vec{i}\) et \(\vec{i'}\).

De l’angle au changement de base

On peut donc dessiner la figure suivante:

Qui nous permet de trouver, par trigonométrie:

\[\lambda_1 = cos(\alpha) \\ \lambda_2 = sin(\alpha) \\ \lambda_3 = -sin(\alpha) \\ \lambda_4 = cos(\alpha) \\\]

On peut donc en déduire la formule suivante en les substituant dans 1 \((1)\):

\[\begin{cases} x = cos(\alpha) x' - sin(\alpha) y' \\ y = sin(\alpha) x' + cos(\alpha) y \end{cases} \space \space \space \space (2)\]

Rotation

Prenons un point \(P\) dans un repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\), et essayons de calculer les coordonnées de \(P'\), son image par une rotation d’un angle \(\alpha\) dans ce même repère.

Une manière de voir ce problème est de considérer un nouveau repère \((O, \vec{i'}, \vec{j'})\), avec un angle de \(\alpha\) entre \(\vec{i}\) et \(\vec{i'}\):

La rotation est une opération linéaire, c’est à dire qu’elle commute aux opérations sur les vecteurs. De ce fait, dans ce nouveau repère, les coordonnées de \(P'\) sont les mêmes que celles de \(P\) dans le repère initial (avant que le point n’aie rotaté).On peut donc directement appliquer l’équation \((2)\):

\[\begin{cases} x = cos(\alpha) x' - sin(\alpha) y' \\ y = sin(\alpha) x' + cos(\alpha) y \end{cases}\]

Où \(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\) sont les coordonnées du point après rotation et \(\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}\) celles du point avant la rotation.

C’est pour cette raison qu’on pourra appeller cette équation la formule de la rotation.

Dans la partie suivante, nous verrons que nous pouvons utiliser l’algèbre matriciel pour représenter les changements de base.