Utilisation


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Comme expliqué dans Modern Robotics, chapitre 3.1, les repères peuvent servir à plusieurs choses que nous allons décrire ici.

Changer un point de repère

C’est la première application que nous avons expliquée, pour un point \(P\) dont les coordonnées \(P_{r_2}\) sont connues dans un repère \(\{ r_2 \}\):

Alors, le changement de repère \(T_{r_1 r_2}\) nous permettra d’obtenir ses coordonnées dans \(\{ r_1 \}\):

\[P_{r_1} = T_{r_1 r_2} P_{r_2}\]

Définir la position/orientation d’un objet

La matrice de transformation \(T_{w r}\) d’un repère \(\{ r \}\) attaché à un objet vers un repère \(\{ w \}\) monde, est une manière de représenter la position et l’orientation de cet objet dans le monde:

  • En 2D, une telle configuration correspond à 3 degrés de liberté
  • En 3D, une telle configuration correspond à 6 degrés de liberté

cf Modern Robotics, chapitre 2.1

Transformer des coordonnées entre avant et après un mouvement

En mélangeant les deux concepts vus précédemment, imaginons qu’un repère \(\{ r_1 \}\) soit attaché à un objet rigide “avant” qu’il ait bougé, et qu’un repère \(\{ r_2 \}\) soit attaché au même objet “après” qu’il ait bougé:

Si on s’intéresse à un point \(P\), dont on connaît les coordonnées avant le mouvement \(P_{r_1}\), on peut chercher les coordonnées \(P'_{r_1}\) de ce même point après le mouvement, mais dans le repère initial.

On peut remarquer que \(P_{r_1} = P'_{r_2}\), comme le point est “attaché” à l’objet, ses coordonnées dans le repère de l’objet sont les même avant et après le mouvement. On peut donc en déduire:

\[P'_{r_1} = T_{r_1 r_2} P'_{r_2} = T_{r_1 r_2} P_{r_1}\]

Cette dernière partie de l’équation semble étrange, car la règle d’annulation de l’indice voudrait que \(T_{r_1 r_2}\), transforme un point provenant de \(\{ r_2 \}\). Il s’agit bien d’un changement de repère, mais que l’on peut interpréter différemment. En effet, ici, nous transformons les coordonnées d’un point \(P\) exprimées dans \(\{ r_1 \}\) avant un déplacement en des coordonnées du même point également exprimées dans \(\{ r_1 \}\) mais après le déplacement.

Dans la prochaine partie, nous verrons comment ce que nous avons vu peut être généralisé en 3D